問題

1. 集合 $X=\{\,0,1\,\}$ が体となるように演算を定義せよ．
   解答
   $0$ を加法単位元とすると

   $0+0=0$，$0+1=1$，$1+0=1$

   $0\neq 1$ より $1$ が乗法単位元となるので

   $0\cdot 1=0$，$1\cdot 0=0$，$1\cdot1=1$

   $0+1\neq 0$ だから $0$ は $1$ の加法単位元ではあり得ず

   $1+1=0$

   でなければならない．最後に分配法則により

   $0\cdot0=0\cdot(1+1)=0\cdot1+0\cdot1=0+0=0$

   これですべての演算が決まった． これらの演算について結合法則・交換法則・分配法則が成り立つことを確かめるのは容易である．
2. 集合 $X=\{\,0,1,2\,\}$ における和を次の表のように定義する．
   $\begin{array}{c|ccc}+&0&1&2\\\hline 0&0&1&2\\ 1&1&2&0\\ 2&2&0&1\end{array}$
   すなわち，$0$ が加法単位元であり
   $1+1=2,\quad 1+2=2+1=0,\quad 2+2=1 $
   である．
   1. $X$ における積を，$1$ を乗法単位元とし，与えられた和とともに分配法則が成り立つように定義せよ．
   2. 上で定義された和と積に関して，$X$ が体となるかどうか調べよ．
   解答
   1. $0$ が加法単位元，$1$ が乗法単位元であるから，$2\times 2$ 以外は
      $\begin{array}{c|ccc}\times&0&1&2\\\hline 0&0&0&0\\ 1&0&1&2\\ 2&0&2&\end{array}$
      と定まる．$2\times 2$ は，分配法則を満たさなければならないので
      $2\times 2=2\times (1+1) =2\times 1+2\times 1 =2+2=1$
      よって
      $\begin{array}{c|ccc}\times&0&1&2\\\hline 0&0&0&0\\ 1&0&1&2\\ 2&0&2&1\end{array}$
      と決まった．この定義により，他の場合も，例えば
      $2\times (2+1)=2\times 2+2\times 1$
      
      $(2+0)\times 1=2\times 1+0\times 1$
      などが成り立つことを確かめるのは容易である．
   2. この和と積に関して，$X$ は(可換)体となる．
      $0$ の加法逆元はもちろん $0+0=0$ より $0$
      $0$ の乗法逆元は存在してはいけない
      $1$ の加法逆元は $1+2=2+1=0$ より $2$
      $1$ の乗法逆元はもちろん $1\times 1=1$ より $1$
      $2$ の加法逆元は $1+2=2+1=0$ より $1$
      $2$ の乗法逆元は $2\times 2=1$ より $2$
      である． 和，積に関する交換法則は定義より明らかに成り立っており，結合法則，例えば
      $(1+2)+2=1+(2+2)=2$
      $(1\times 2)\times 2=1\times(2\times 2)=1$
      なども容易に確かめられる．
3. 集合 $X=\{\,0,1,2,3\,\}$ における和を次の表のように定義する．
   $\begin{array}{c|cccc}+&0&1&2&3\\\hline 0&0&1&2&3\\ 1&1&2&3&0\\ 2&2&3&0&1\\ 3&3&0&1&2\end{array}$
   すなわち，$0$ が加法単位元であり
   $2+2=0,\quad 2+3=3+2=1,\quad 3+3=2 $
   などである．
   1. $X$ における積を，$1$ を乗法単位元とし，与えられた和とともに分配法則が成り立つように定義せよ．
   2. 上で定義された和と積に関して，$X$ が体となるかどうか調べよ．
   解答
   1. $0$ が加法単位元，$1$ が乗法単位元であるから
      $\begin{array}{c|cccc}\times&0&1&2&3\\\hline 0&0&0&0&0\\ 1&0&1&2&3\\ 2&0&2& &\\ 3&0&3& &\end{array}$
      まで定まる．残りは分配法則を満たすために
      $2\times 2=2\times (1+1) =2\times 1+2\times 1 =2+2=0\\ 2\times 3=2\times (1+2) =2\times 1+2\times 2 =2+0=2\\ 3\times 2=3\times (1+1) =3\times 1+3\times 1 =3+3=2\\ 3\times 3=3\times (1+2) =3\times 1+3\times 2 =3+2=1$
      と定め，よって
      $\begin{array}{c|cccc}\times&0&1&2&3\\\hline 0&0&0&0&0\\ 1&0&1&2&3\\ 2&0&2&0&2\\ 3&0&3&2&1\end{array}$
      と決まった．他の場合も，例えば
      $2\times (3+1)=2\times 3+2\times 1$
      
      $(3+1)\times 3=3\times 3+1\times 3$
      などが成り立つことを確かめるのは容易である．
   2. この和と積に関して，$X$ は体ではない．$2$ の乗法逆元が存在しないからである．
4. 次を示せ．
   1. 有限集合は順序体には成り得ない．
   2. $\mathbf{C}$ の通常の演算はいかなる全順序とも両立しない．
   解答
   1. $1 < 1+1 < 1+1+1 < 1+1+1+1 < \cdots$ より明らか．
   例えば，虚数単位 $i$ について $i\ge 0$ とすると $i^2\ge 0$ でなければならないが，これは $i^2=-1$ と矛盾する．$i\le 0$ としても $-i\ge 0$ ということになるから同様である．
5. 体 $X$ の部分集合 $P$ が正錐であるとは
   ・$x,y\in P\ \Rightarrow\ x+y,xy\in P$
   ・$\forall x\in X,\ x^2\in P$
   ・$-1\notin P$
   ・$x\notin P\ \Rightarrow\ -x\in P$
   の４条件を満たすことをいう．$P$ が正錐であるとき
   $x\le y\ \stackrel{\mathrm{def}}{\iff}\ y-x\in P$
   と定めると $X$ は順序体となる．このことを示せ．
   解答
   • $0=0^2\in P$ であるから，任意の $x\in X$ について $x-x=0\in P$，従って $x\le x$ が成り立つ．
   • $x\le x',\ x'\le x$ すなわち $x'-x,x-x'\in P$ とすると， $-(x'-x)^2=(x'-x)(x-x')\in P$ であるが，このとき $x\neq x'$ ならば $(x'-x)^{-1}\in X$ が存在し $(x'-x)^{-2}\in P$ であるから
     $-1=-(x'-x)^2(x'-x)^{-2}\in P$
     となり $-1\notin P$ に反する．よって $x=x'$ である．
   • $x\le x',\ x'\le x''$ すなわち $x'-x,x''-x'\in P$ とすると $x''-x=(x''-x')+(x'-x)\in P$ なので $x\le x''$
   • $x\le x'$ が成り立たない，すなわち $x'-x\notin P$ とすると $x-x'=-(x'-x)\in P$ すなわち $x'\le x$ が成り立つ．

   これで $X$ が全順序集合となることがわかった．さらに

   • $x\le x'$ すなわち $x'-x\in P$ とすると $(x'+x'')-(x+x'')=x'-x\in P$ だから $x+x''\le x'+x''$ となる．
   • $x\ge 0,\ x'\ge 0$ すなわち $x,x'\in P$ とすると $xx'\in P$ だから $xx'\ge 0$ となる．

   以上より $X$ は順序体となる．
6. 四元数体 $H$ とは，虚数単位 $i,\ j,\ k$ を用いて
   $a+bi+cj+dk,\quad(a,b,c,d\in\mathbf{R})$
   と表される数の集合であって
   $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$
   という関係および複素数と同様の計算規則によって演算が定義されたものである． これについて，以下の問いに答えよ．
   1. 次が成り立つことを確かめよ．
      1. $ij=-ji=k$，$jk=-kj=i$，$ki=-ik=j$
      2. $(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)$$=a^2+b^2+c^2+d^2$
   2. 次の計算をせよ．
      1. $(1+i+j+k)(1-i+2j-3k)$
      2. $\dfrac{1-3j}{2+i+j-4k}$
   解答
   1. 1. $ijk=-1$ の両辺に $k$ を右から乗じて $ijk^2=-k$，さらに $k^2=-1$ より $-ij=-k$ すなわち $ij=k$．さらにこの両辺に $k$ を左から，$ji$ を右から乗じて $k(ij)(ji)=k^2ji$．これより $k=-ji$ がわかる．他も同様．
      2. $(bi+cj+dk)^2$$ =b^2i^2+c^2j^2+d^2k^2+bc(ij+ji)+cd(jk+kj)+db(ki+ik)$$=-b^2-c^2-d^2$ より
         $(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)\\ \hspace{50pt}=a^2-(bi+cj+dk)^2=a^2+b^2+c^2+d^2$
   2. 1. $(1+i+j+k)(1-i+2j-3k)=3-5i+5j+k$
      2. $\dfrac{1-3j}{2+i+j-4k} =\dfrac{(1-3j)(2-i-j+4k)}{(2+i+j-4k)(2-i-j+4k)} =\dfrac{-1-13i-7j+k}{22}$